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	<title>泰勒公式</title>
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	<div id="body" class="container">
		<h1>泰勒公式</h1>
		<hr/>
		
		<h6>泰勒多项式，泰勒系数</h6>
		<p>若函数$f(x)$在点$x_0$处存在直至n阶的导数，由这些导数构造的n次多项式$$T_n(x)=f(x_0) + f^{'}(x_0)(x-x_0) + \frac{f^{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \frac{f^{'''}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$称为<strong>函数f(x)在点$x_0$处的泰勒多项式</strong>。</p>
		<p>$T_n(x)$的各项系数$\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}, (k \in N_+)$称为<strong>泰勒系数</strong>。</p>
		
		<h6>泰勒公式，泰勒公式的余项</h6>
		<p>若函数$f(x)$在点$x_0$处存在直至n阶的导数，则有$f(x)=T_n(x) + R_n(x)$，称为<strong>函数$f(x)$在点$x_0$处的泰勒公式</strong>。其中，$T_n(x)$是泰勒多项式，$R_n(x)$称为<strong>泰勒公式的余项</strong>。</p>
		
		<h6>皮亚诺余项，带皮亚诺余项的泰勒公式</h6>
		<p>$R_n(x)=o\left ( (x-x_0)^n \right ) (x\rightarrow x_0)$，称为<strong>皮亚诺余项</strong>。对应的泰勒公式称为<strong>带皮亚诺余项的泰勒公式</strong>。</p>
		<p>带皮亚诺余项的泰勒公式，定义在$x_0$这一点上，因此也称为<strong>局部泰勒公式</strong>。</p>
		
		<h6>泰勒定理，拉格朗日余项，带拉格朗日余项的泰勒公式</h6>
		<p>若函数$f(x)$在$[a,b]$上存在直至n阶的连续导函数，在$(a,b)$内存在n+1阶导函数，则对$\forall x,x_0 \in [a,b]$，至少存在一点$\epsilon \in (a,b)$，使得$f(x)=T_n(x) + R_n(x)$。其中$T_n(x)$是泰勒多项式，$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$，$\xi=x_0+\theta (x-x_0) (0&lt;\theta&lt;1)$。</p>
		<p>$R_n(x)$称为<strong>拉格朗日余项</strong>。$f(x)=T_n(x) + R_n(x)$称为<strong>带拉格朗日余项的泰勒公式</strong>。</p>
		<p>带拉格朗日余项的泰勒公式，定义在一段区间上，因此也称为<strong>整体泰勒公式</strong>。</p>
		
		<h6>麦克劳林公式</h6>
		<p>在泰勒公式中取$x_0=0$，则$$f(x)=f(0) + f^{'}(0)x + \frac{f^{''}(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{'''}(0)}{3!}x^3 + ... + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)$$称为<strong>麦克劳林公式</strong>。</p>
		<p>$R_n(x)=o(x^n)$时，称为<strong>带皮亚诺余项的麦克劳林公式</strong>。</p>
		<p>$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} (0&lt;\theta&lt;1)$时，称为<strong>带拉格朗日余项的麦克劳林公式</strong>。</p>

		<div class="example">
			<h6>特定麦克劳林公式</h6>
			<p>$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + ... + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$$</p>
			<p>$$sinx = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + ... + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} + o(x^{2n+1})$$</p>
			<p>$$cosx = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + ... + \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} + o(x^{2n})$$</p>
			<p>$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + ... + x^n + o(x^n)$$</p>
			<p>$$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + ... + (-1)^nx^n + o(x^n)$$</p>
			<p>$$ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + ... + \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+ o(x^n)$$</p>
			<p>$$(1+x)^a = 1+ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + ... + \frac{a(a-1)(a-2)...(a-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)$$</p>
		</div>
	</div>
</body>

</html>